設T是線性空間V上的線性變換，證明：T對應的矩陣的行列式為零的充要條件是T以零作為一個特征值．

設ε1，ε2，…，εn是線性空間V的一組基，T是V上的線性變換．證明：T可逆的充分必要條件是Tε1，Tε2，…，Tεn線性無關．

數域K上n階矩陣全體M_n(K)組成線性空間V，定義V上的變換：φ(x)=AXB，其中A，B是兩個n階矩陣．證明：

  (1)φ是V上的線性變換．

  (2)φ是線性同構的充要條件是A，B都是可逆的．

設X是拓撲線性空間，f：X→是X上的線性泛函且f≠θ．證明f連續的充要條件是存在θ的鄰域V，f在V上有界，即|f(x)|＜∞．

對于有限維線性空間的線性變換，它是單射的充分必要條件是它是滿射。()

歐氏空間V中的線性變換稱為反稱的，如果對任意，α，β∈V，證明：

1)為反稱的充分必要條件是，在一組標準正交基下的矩陣為反稱的;

2)如果V₁是反稱線性變換的不變子空間，則也是。

設X為Banach空間，G，H為X的閉線性子空間，且G∩H={θ}．證明是閉線性子空間的充要條件是M＞0，x∈G，y∈H有‖x‖≤M‖x+y‖．