設(shè)A[a，b]為定義在[a，b]上的絕對連續(xù)函數(shù)全體，其線性運算與C[a，b]的相同，在A[a，b]中定義范數(shù)于下：

‖x‖=|x(a)|+∫_a^b|x'(t)|dt (x∈A[a，b])

證明：A[a，b]按照‖·‖是可分巴拿赫空間。

設(shè)BV[a，b]表示[a，b]上所有有界變差函數(shù)的集合，對x∈BV[a，b]，令

‖x‖=|x(a)|+V(x)，

其中V(z)是x的全變差，證明‖·‖是BV[a，b]上的范數(shù)。

設(shè)φ(t)，ψ(t)，α(t)都是在a≤t≤b上的有界變差函數(shù)而且無相同的不連續(xù)點．又設(shè)c是a，b間的任意一個值．再定義

于是我們有下列不等式

A、

B、

C、0

D、

設(shè)φ(t)，ψ(t)，α(t)都是在a≤t≤b上的有界變差函數(shù)而且彼此沒有相同的不連續(xù)點．則有

設(shè)函數(shù)α(x)，φ(x)≠0定義在0≤x＜∞內(nèi)而適合下列條件：

(1)在每一有限間隔0≤x≤t上α(x)，φ(x)都是有界變差函數(shù)．

(2)α(x)及φ(x)沒有相同的不連續(xù)點

(3)當t→∞時，V_φ(t)=V₀^t[φ]→∞，于是無窮積分收斂的必要條件是

設(shè)f(x)在0≤x≤c上為有界變差函數(shù)，則有

設(shè)ν∈V[a，b]，已知由

f(x)=∫_a^bx(t)dν(t)

定義了C[a，b]上的一個有界線性泛函f。舉例說明，存在這樣的ν(·)，使