某粒子的運動狀態可用波函數∮＝Ne-iχ來表示，求其動量算符

的本征值。

(a)電子在一維區域

  

  自由運動，波函數滿足周期性邊界條件ψ(x)=ψ(x+L)．試寫出動量和Hamilton量的共同本征函數(不考慮自旋)；

  (b)加上微擾H'=εcosqx，其中Lq=4πN(N為大的正整數)．試就電子動量|p|=qh/2的情況求能級和定態波函數，準確到ε量級；

  (c)再計算情況(b)的能級修正，至ε²量級；

  (d)對于|p|接近(但不等于)qh/2的情況，重復(b)和(c)的能級計算．

設單粒子能級的定態波函數是的本征態，記為能級與m無關,為重簡并，設有兩個全同粒子處于此能級上。證明：(a)交換對稱態和反對稱態的數目分別為(j+1) (2j+1)和j (2j+1)，(b)無論粒子是Bose子或Fermi子，體系的角動量J必為偶數。

一維諧振子的Hamilton量為

  ，x∈(-∞，∞)．

  在坐標表象中，它的能量本征態波函數為，這里N_n是歸一化系數，H_n為Hermite多項式．試在動量表象中求出它的能量本征值和相應的波函數．

對于電子和其他自旋1/2粒子，s_z的本征態常記為α和β，α即，β即．已知電子的波函數為

  ψ(r，θ，φ，s_z)=αY_l0(θ，φ)R(r)  (1)

  求總角動量j²，j_z的可能測值及相應概率(取h=1)．

質量為μ的粒子在一維均勻力場f(x)=-F(F＞0)中運動．試在動量表象中求解定態波函數φ(p)．

一維運動的粒子，設其動量的不確定量等于它的動量．試求此粒子的位置不確定量與它的德布羅意波長的關系?

設t=0時刻氫原子處于狀態，其中是氫原子哈密頓算符的正交歸一化本征波函數。

求：(1) t=0時刻，體系能量的平均值。

(2) t=0時刻，體系角動量平方L²的平均值。

(3) t=0時刻，體系角動量x分量L_x的平均值。

(4)時刻，體系所處的狀態。